算幾不等式

算幾不等式 (Arithmetic and Geometric Mean Inequality of two positive numbers)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在高中數學的範疇中，「算幾不等式」是一個常用的基本不等式，在證明不等式的題目中，我們經常藉助它來論證命題。而國中的幾何變動量所討論的「等周長的矩形以正方形的面積為最大」，就蘊涵算幾不等式的幾何意義。

設矩形的長為\(a\)、寬為\(b\)，整理可得代數式：

設\(a,b\)為正實數，則\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，其中等號成立的充要條件為\(a=b\)。

\(\frac{a+b}{2}\)、\(\sqrt{ab}\) 分別稱為算術平均數（arithmetic mean）、幾何平均數（geometric mean），\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\) 簡稱為算幾不等式。不等式的證明相當有趣，因為其證明的方法靈活多樣化，底下介紹算幾不等式的一些證明方式：

證明一：差值比較法

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geq{0}\)，

故 \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\Longleftrightarrow\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}=0\Longleftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\Longleftrightarrow{a}={b}\)，

所以等號成立於 \(a=b\)。

證明二：由柯西不等式得知，

\((\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2)(1^2+1^2)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\)，

\(2(a+b)\geq{a}+b+2\sqrt{ab}\)， \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

且等式成立時，\(\sqrt{a}:\sqrt{b}=1:1\)，即 \(a=b\) 時。

令\(a=2^{a_1},b=2^{a_2}\)，

\(\displaystyle\frac{2^{a_1}+2^{a_2}}{2}\geq{2}^{\frac{a_1+a_2}{2}}=\sqrt{2^{a_1+a_2}}\)，所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)

證明三的圖形是最常見的，再繼續作圖可得

調和平均數（harmonic mean）\(\frac{2ab}{a+b}\) 與平方平均數（root mean square）\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

即：平方平均數＞算術平均數＞幾何平均數＞調和平均數

至於證明七的 \(y=2^x\) 圖形若改成 \(y=\log\)，

則同理可得 \(\log(\frac{a+b}{2})\geq\frac{\log{a}+\log{b}}{2}\) 即 \(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

最後，算幾不等式推廣到 \(n\) 個正實數的情形：

對任意正實數 \(x_1,x_2,x_3,\mbox{…},x_n\)，\({\frac{x_1+x_2+x_3+\mbox{…}+x_n}{n}}\geq\sqrt[n]{x_1x_2x_3{\mbox{…}x_n}}\) 恆成立。

其中等號成立的充要條件為 \(x_1=x_2=x_3=\mbox{…}=x_n\)。

參考資料
Roger B. Nelsen (1993). Proofs Without Words:Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: MAA。
張鎮華 (2002).〈算幾不等式面面觀〉，《數學傳播》26 卷2 期。
黃毅英 (1994).〈從算術幾何平均不等式看數學解題中的一題多解〉，《數學傳播》18 卷4 期。